左右手定则背后的宇宙奥秘：从高中物理到三维空间的独特性

更新时间：2024-10-22 15:10  浏览量：13

1.从考场到实验室：左右手定则的起源与应用

注意看这些奋笔疾书的考生，突然放下纸笔，双手扭曲，左右翻飞，复杂的舞蹈好似纠结的大脑。考生们相信，这些手势能短暂地召唤出掌管电磁学的神明，帮自己解除物理大题。这种神秘的仪式被称为左手定则和右手定则。右手定则判断发电机的电流方向，还有右手螺旋定则判断通电导线周围的磁场，左手定则判断电动机的安培力方向，还有个洛伦磁力。左手定则判断带电粒子在磁场中的受力。这么多手，连哪吒都记不过来。南方老师的口诀是左电右发，北方老师说，粒子往左撇，所以受力用左手。电子往右拐，所以发电用右手。但不管怎么记，总有人把左右手记反。更有倒霉的同学体育课踢足球，把手踢骨折了，那这时候难道就束手无策了吗？不，左右手定则看似只是几条不相关的记忆技巧，但我上高中的时候就觉得它们背后必有玄机。

我当年经常好奇为什么书上洛伦兹力的公式写成 f 等于 QVB 而不是 BQV BVQ 之类的呢。这当然没问题，只要你题能做对，怎么换顺序都行。但 f 等于 Q v b 背后蕴含着教材编者的深意。打开大学教材，洛伦兹力的公式变成了这样，多了个乘号。你可能会说，小学老师就教过乘号，可以省略，这不是那个乘号，而是向量的叉乘。世界上有些数是个纯的数，称为标量，但有些量既有大小，也有方向，称为向量或者矢量。比如速度就是一个向量。

如果你在同一个医院出生和死亡，那你在世间忙活了一辈子，平均速度就是标量的乘法，遵循九九乘法表。那向量的乘法遵循什么规则呢？一个有方向的力乘以一个有方向的位移乘出来是什么东西呢？我们初中的时候就学过向量的点乘出来是这样一个数，比如搓澡师傅在给你搓澡师傅的搓力是f，你的身体长度是d。如果你突发奇想要计算一下搓澡师傅对搓澡巾做了多少功，计算的公式就是 w 等于 f d cos Theta，但有了向量点乘它就可以直接写作 w 等于 f 点d。向量点乘的引入让师傅对搓澡巾做的功更简洁优雅，而这个乘号是我们在高中学的另一种向量乘法。

2.向量叉乘：左右手定则的数学统一

叉乘由 19 世纪的数学家定义。两个向量叉出来还是一个向量方向，垂直于这两个向量的方向。巧的是，也是在 19 世纪，物理学家发现带电粒子在磁场中运动，会受力的方向垂直于磁场和粒子运动这两个方向。每当数学和物理达成美妙的巧合，科学的齿轮就会向前转动。看到这，你奶奶都能敏锐地发现，用向量叉乘来描述电磁力很不错。数学家规定叉乘的方向使用右手来描述，这样伸出右手三根手指，食指方向为 a 向量，中指方向为 b 向量，则大拇指指向 A 叉 b 这个向量。而物理学家实验发现，如果食指代表正电荷的速度方向，中指代表磁感线的方向，那大拇指刚好指向正电荷的受力方向，数学规则完美描述的物理现象难免让人怀疑造物主当年就是用这个姿势设计出电磁力的。

总之，现在只要用一个叉号就能把粒子在磁场中运动的复杂规则封装成这个简洁的公式，也不得不感慨，人类很幸运，三根手指竟然能指出三个垂直的方向，狗子的数学家就很难教孩子们右爪定则。有的同学要问了，那为啥是用右手，而不是用左手来规定叉乘的方向呢？这是因为更早的数学家规定了坐标系的x、y、 z 常用方向就是这样，称为右手坐标系。你要问，那为啥坐标系常用右手系而不是左手系呢？那这个就得问发明坐标系的笛卡尔了，他思故他在。

所以本质上讲，洛伦磁力能用手来判断，是因为磁力的方向刚好符合数学中向量叉乘的规则，而叉乘由右手来定义，而用右手是因为坐标系创立的时候就是这么选的，没有为什么。现在我们来做一道题，假设我的嘴里向你喷出质子流，有磁感应线从我的脚底往上穿透我。请判断质子的受力方向，根据传统功夫的洛伦兹力左手定则，那应该是向这边。那根据 f 等于 q v 叉 b 的右手定则，应该是向这边 amazing 结果是一样的。那当然是一样的，不然别的急着手定则看似左右开弓，其实都是因为公式里有个叉乘，而叉乘只需要右手，那即使不幸把左手摔坏了，也可以用右手愉快地完成考试。

3.简洁之美：物理学的追求与世界的结构

从这个意义上讲，左手定则都只是记忆技巧，叉乘才是左右手定则背后的大一统理论。现在我们把四条独立的左右手定则统一成了简洁的公式和一套右手定则，很有成就感，对吧？等等，从记这一坨变成记这一坨，怎么感觉更难了呢？而且这些公式表面上简洁，背后的代价是额外引入那个叉乘的定义其实是一样的，不一样。在物理学中，简洁就是力量，简洁是提升你对世界洞察力的武器，是物理学家的终极追求。简洁不仅是为了省纸，它更是物理真正美的地方。还是以洛伦磁力为例，没有叉乘，它完全可以写成三个分量的式子。但有了叉乘，就只需要一个，简化之后，我们能更直观地看到世界深层次的规律，比如一个电子感受到的力和自己的速度成正比，越复杂的公式，简化的优越性就越明显。

伟大的麦克斯韦方程组长这样，但 1865 年老麦在他的电磁场的动力学理论里面写出的原汁原味版本是这样，足足 20 个方程。如果老麦当时像我们的观众一样懂向量，他至少可以把公式缩减成 8 个。直到 1880 年左右，赫维赛德和吉布斯才把麦克斯韦方程组写成四个方程的标准版本。从此以后，电磁学的一切知识只用四句话就可以概括。

如今电磁学考试常常第一题就是默写麦克斯韦方程，如果还保留着老麦的原始形式，那就得是压轴题了，这么一大坨，雷神也记不住啊。不仅仅是电磁学，这是流体力学最基础的纳维斯托克斯方程的分量形式。有了向量和 Nabla 算子，它就能变成这样。这是爱因斯坦场方程的第一层展开，而这是它的张量形式，我们自然会猜想造物主制定我们世界的规律时，脑子里应该想的是右边这个，而不是左边这坨。就像这些帅哥美女，美不美可能见仁见智，但这些方程世界上没有人会觉得不美。

代价是什么呢？麦克思维，方程从 20 个缩到 4 个，看着简洁了，但你必须额外懂点乘、叉乘和 Nabla 算子。在物理学的专业玩家，那这四个方程还能究极简化成两个。但代价是你必须要知道爱因斯坦求和约定、电磁张量、四矢式等等知识。理性上讲，方程未必会因为简洁而诞生新的知识。一段代码封装得再简洁，其实可能和史删功能是一样的。但在感性上，方程的确会因为简洁而带来更深刻的洞察和更纯粹的美。

在认知世界的漫长历史上，人类希望对于大千世界丰富现象知其然，于是总结出了许多的科学规律。为了更加深入地知其所以然，人类试图把复杂的规律压缩成更高阶、更简洁的形式，从亚里士多德到伽利略牛顿、爱因斯坦、薛定谔、杨振宁，每一个公式当中蕴含着越来越美的规律和智慧。

事实上，物理规律能以更简洁的形式写出，这正说明了我们的世界是有内在结构的。比如 0.142857142857 Ra 这个数为了表达它，你需要无限位数字，但因为这个数有完美的结构，我们能把它写成这样，或者 1/ 7。现在只要两个数字就能表达它了。但如果你随便挑一个无理数，它大概率是一坨混乱的数，你没有任何办法可以把它写得更简洁，所以没有结构的东西其实无从压缩，无理数远多于有理数。

4.三维空间的独特性：叉乘与我们的宇宙

这也暗示我们世界上无规律、不可压缩的事物是常态，有结构能变得简洁的东西才是稀少的，但我们世界的物理学竟然可以被压缩得如此简洁，让我们以最少的因说明最多的果。这是多么幸运的一件事，也可见物理学的结构是多么的深邃。这是我虽然学化工，但我喜欢学习物理的地方，它难但难绝不是这门学科的追求。不是也是吧？最后我想和大家分享一个最让我惊叹的结论，叉乘其实是一个非常特殊的运算，它几乎只在三维空间才有，别的维就不行。想象一个二维世界的纸片人，他们根本就没有三个垂直的方向，你想叉乘也叉不起来，没有了叉乘， Max 与方程也就根本写不出来，所以纸片人的物理课中根本就不会有电磁学，多么遗憾呐。

再想象一个活在四维空间的高级生命，它有四个垂直的方向，它的两个向量一叉乘叉不出来唯一的第三个方向。所以别看四维生命比咱们高级，它们的世界里也没有叉成废物， 5 维、 6 维也都不行。赫维茨定理告诉我，在所有的维度中，只有 3 维和 7 维世界能够定义出叉乘，但是 7 维的叉乘没有良好的性质，规则丑陋，没法用于构建物理世界。所以我们既是天选，也是唯一只有恰好处于三维空间的幸运的我们才拥有叉乘的权利，才能体会到左右手定则带来的乐趣。

想想我们在高中判断安培力和洛伦兹力那都是家常便饭了，别的不管高维还是低维的生物都不知道我们这是在干嘛，只能羡慕当我们在物理学的公式中大量地使用叉乘时，这在数学上竟然成为了我们生活的空间，是三维的铁证，三维的世界因为有了电磁波而美丽，但归根到底是因为有叉乘而美丽。正如费曼在介绍叉乘时的感慨，这是一个十分幸运的奇迹。

如此想来，当大家回望高中物理考试的左右手定则时，会不会感到一丝幸运？又会不会感到世界的本质其实早已尽在我们的手中掌握？